方程y'=f(x)y的通解是：

题目

方程y'=f(x)y的通解是：

相似考题

2.设f（x）、f'（x）为已知的连续函数，则微分方程y'+ f'（x）y = f（x）f'（x）的通解是：

3.设f(x),f'(x)为已知的连续函数，则微分方程y'十f'(x)y=f(x)f'(x)的通解是： A. y=f(x)+ce-f(x) B. y= f(x)ef(x) -ef(x) +c C. y=f(x)-1+ce-f(x) D. y=f(x)-1+cef(x)

4.若y1（x）是线性非齐次方程y'+p（x）y=Q（x）的一个特解，则该方程的通解是下列中哪一个方程？

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第1题：

若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)e^x，则非齐次方程y"+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为y=________.

答案：1、y=-xe^x+x+2.
解析：
第2题：

求微分方程y"-3y'+2y=2xe^x的通解.

答案：
解析：
【解】由方程y-3y'+2y=0的特征方程解得特征根，所以方程y-3y'+2y=0的通解为
设y-3y'+2y=2xe^x的特解为y^*=x(ax+b)e^x，则(y^*)'=(ax^2+2ax+bx+b)e^x(y^*)=(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x
代入原方程，解得a=-1，b=-2，故特解为：y^*=x(-x-2)e^x，所以原方程的通解为
第3题：

方程dy/dx-y/x=0的通解为（）。
A. = C/x B. y = Cx C. 1/x+ C D. y = x + C

答案：A
解析：
提示：分离变量得，，两边积分得，，可知应选A。
第4题：

微分方程y'＋x=0的通解为

答案：D
解析：
[解析]所给方程为可分离变量方程．
第5题：

微分方程y′-y=0的通解为()．

A.y=ex+C
B.y=e-x+C
C.y=Cex
D.y=Ce-x

答案：C
解析：
所给方程为可分离变量方程．
第6题：

微分方程y'=1的通解为（）

A.y=x
B.y=Cx
C.y=C-x
D.y=C+x

答案：D
解析：
第7题：

微分方程y'+y=0的通解为y=[]

A.e-x+C
B.-e-x+C
C.Ce-x
D.Cex

答案：C
解析：
所给方程为可分离变量方程．
第8题：

填空题
设y1（x）是方程y′＋P（x）y＝f1（x）的一个解，y2（x）是方程y′＋P（x）y＝f2（x）的一个解，则y＝y1（x）＋y2（x）是方程____的解。

正确答案： y′+P(x)y=f₁(x)+f₂(x)
解析：
根据题意可知，y₁′＋P（x）y₁＝f₁（x），y₂′＋P（x）y₂＝f₂（x）。两式相加得（y₁′＋y₂′）＋P（x）（y₁＋y₂）＝f₁（x）＋f₂（x）。则可发现y＝y₁＋y₂是方程y′＋P（x）y＝f₁（x）＋f₂（x）的解。
第9题：

单选题
微分方程ydx＋（x－y）dy＝0的通解是（　　）。[2010年真题]
A
（x－y/2）y＝C
B
xy＝C（x－y/2）
C
xy＝C
D
y＝C/ln（x－y/2）

正确答案： D
解析：
微分方程ydx＋（x－y）dy＝0可写成ydx＋xdy＝ydy，右端仅含y，求积分得y²/2。左端既含x又含y，它不能逐项积分，但却可以化成d（xy），因此，直接求积分得到xy，从而便得到微分方程的隐式解：xy＝y²/2＋C，即（x－y/2）y＝C。
第10题：

填空题
微分方程y′＝y（1－x）/x的通解是____。

正确答案： y=Cxe^-^x
解析：
原微分方程y′＝y（1－x）/x。分离变量得dy/y＝（1/x－1）dx。两边分别积分得ln|y|＝ln|x|－x＋lnC₁，即y＝Cxe^－^x。
第11题：

单选题
设y1（x）是方程y′＋P（x）y＝f1（x）的一个解，y2（x）是方程y′＋P（x）y＝f2（x）的一个解，则y＝y1（x）＋y2（x）是方程（　　）的解。
A
y′＋P（x）y＝f₁（x）＋f₂（x）
B
y＋P（x）y′＝f₁（x）－f₂（x）
C
y＋P（x）y′＝f₁（x）＋f₂（x）
D
y′＋P（x）y＝f₁（x）－f₂（x）

正确答案： A
解析：
根据题意可知，y₁′＋P（x）y₁＝f₁（x），y₂′＋P（x）y₂＝f₂（x）。两式相加得（y₁′＋y₂′）＋P（x）（y₁＋y₂）＝f₁（x）＋f₂（x）。则可发现y＝y₁＋y₂是方程y′＋P（x）y＝f₁（x）＋f₂（x）的解。
第12题：

单选题
设函数y1，y2，y3都是线性非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则函数y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3（　　）。（c1，c2为任意常数）
A
是所给方程的通解
B
不是方程的解
C
是所给方程的特解
D
可能是方程的通解，但一定不是其特解

正确答案： C
解析：
由于y₁，y₂，y₃都是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则y₂－y₁，y₃－y₁是它对应的齐次方程的特解，故y＝（1－c₁－c₂）y₁＋c₁y₂＋c₂y₃＝y₁＋c₁（y₂－y₁）＋c₂（y₃－y₁）是非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，但是，由于无法确定y₂－y₁与y₃－y₁是否为线性无关，故不能肯定它是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解。
第13题：

已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数.
　　(Ⅰ)若f(x)=x，求方程的通解.
　　(Ⅱ)若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解.

答案：
解析：
【解】(Ⅰ)若f(x)=x，则方程为y'+y=x通解为

(Ⅱ)设y(x)为方程的任意解，则y'(x+T)+y(x+T)=f(x+T).
而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x).又y'(x)+y(x)=f(x).
因此y'(x+T)+y(x+T)-y'(x)-y(x)=0，有(e^x［y(x+T)-y(x)］)'=0，
即e^x［y(x+T)=y(x)］=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0，
y(x)为唯一以T为周期的解.
第14题：

方程y"=e2x-cosx的通解为( )。

答案：D
解析：
对方程积分两次，得
第15题：

微分方程ydx+(x-y)dy=0的通解是（）。

答案：A
解析：
第16题：

微分方程y'=x的通解为（）

答案：C
解析：
第17题：

微分方程y''+y=0的通解是 .

答案：
解析：
【考情点拨】本题考查了二阶线性微分方程的通解知识点.【应试指导】微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0.
第18题：

微分方程y′=3x2的通解为y=__________．

答案：
解析：
x3+C
第19题：

求微分方程y″+3y′=3x的通解．

答案：
解析：
第20题：

单选题
微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是（　　）。[2011年真题]
A
sin（y/x）＝Cx
B
cos（y/x）＝Cx
C
sin（y/x）＝x＋C
D
Cxsin（y/x）＝1

正确答案： C
解析：
令y/x＝u，则dy/dx＝xdu/dx＋u，原式等价于du/tanu＝dx/x，两边分别积分得：ln（sinu）＝lnx＋lnC，则微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是sin（y/x）＝Cx。
第21题：

填空题
已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为____。

正确答案： y=c₁x+c₂x²
解析：
设与y₂是与y₁线性无关的一个特解，则y₂′＝u＋xu′，y₂″＝2u′＋xu″，其代入x²y″－2xy′＋2y＝0中，得2x²u′＋x³u″－2xu－2x²u′＋2xu＝0，即x³u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y₂＝x²。故原方程的通解为y＝c₁x＋c₂x²。
第22题：

单选题
方程dy/dx＝y/x＋tan（y/x）的通解为（　　）。
A
sin（x/y）＝Cx
B
sin（y/x）＝Cx
C
sin（y/x）＝C/x
D
sin（y/x）＝x＋C

正确答案： A
解析：
原微分方程为dy/dx＝y/x＋tan（y/x）。令y/x＝u，则可变形为u＋xdu/dx＝u＋tanu，解得方程通解为sinu＝sin（y/x）＝Cx。
第23题：

填空题
方程y‴＝x＋ex的通解为____。

正确答案： y=e^x+x⁴/24+C₁x²+C₂x+C₃
解析：
原方程为y‴＝x＋e^x，方程两边对x积分得y″＝e^x＋x²/2＋C，以上方程两边再次对x积分得y′＝e^x＋x³/6＋Cx＋C₂，故原方程的通解为y＝e^x＋x⁴/24＋C₁x²＋C₂x＋C₃（C₁＝C/2）。

方程y'=f(x)y的通解是：

题目

相似考题

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