单选题设A为3阶方阵，α1，α2，α3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组AX=0的解，若B=（α1，α2，α3）满足r（AB）＜r（A），r（AB）＜r（B），则r（AB）等于（ ）.A 3B 2C 1D 0
题目
单选题
设A为3阶方阵，α1，α2，α3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组AX=0的解，若B=（α1，α2，α3）满足r（AB）＜r（A），r（AB）＜r（B），则r（AB）等于（ ）.
A
3
B
2
C
1
D
0
相似考题
参考答案和解析
正确答案：
A
解析：
由于α1，α2，α3不是AX=0的解，故AB≠0，所以r（AB）＞0．又因r（AB）＜r（A），故B不可逆，即r（B）≤2，从而r（AB）＜r（B）≤2，，即r（AB）=1．
由于α1，α2，α3不是AX=0的解，故AB≠0，所以r（AB）＞0．又因r（AB）＜r（A），故B不可逆，即r（B）≤2，从而r（AB）＜r（B）≤2，，即r（AB）=1．
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-
第1题：
设A是4×3阶矩阵且r(A)=2,B=
,则r(AB)=_______.答案：1、2解析：因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2. -
第2题：
设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而
，则r(AB)=_________.答案：1、2.解析：基础题，本题是考查矩阵乘积的秩的公式：如果A可逆，则r(AB)=r(B)；r(BA)=r(B).本题｜B｜=10≠0，故B为可逆矩阵，因此r(AB)=r(A)=2 -
第3题：
设
都是n(n≥3）阶非零矩阵，且AB=O，则r（B）=（ ）A. 0
B.1
C. 2
D. 3答案：B解析：
-
第4题：
设有方程组AX=O与BX=0,其中A,B都是m×N阶矩阵,下列四个命题：
(1)若AX=O的解都是BX=O的解,则r(A)≥r(B)
(2)若r(A)≥r(B),则AX=0的解都是BX=0的解
(3)若AX=0与BX=0同解,则r(A)-r(B)
(4)若r(A)=r（B）,则AX=0与BX=0同解
以上命题正确的是().A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)答案：B解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而 r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但
反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B). -
第5题：
设3阶方阵A的秩R（A）=1，则A的伴随矩阵的秩R（）等于（）．
- A、3
- B、2
- C、1
- D、0
正确答案:D -
第6题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。An－1
Bn
Cn＋1
Dn＋2
正确答案： A解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。 -
第7题：
单选题设A、B为四阶方阵，r（A）=4，r（B）=3，则r[（AB）*]=（ ）.A1
B2
C3
D4
正确答案： B解析：
由r（A）=4，知A*是满秩矩阵，由r（B）=3，知r（B*）=1，矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变，故有r[（AB）*]=r（B*A*）=r（B*）=1 -
第8题：
填空题已知四元非齐次方程组AX(→)＝b(→)，r（A）＝3，α(→)1，α(→)2，α(→)3是它的三个解向量，且α(→)1＋α(→)2＝（1，1，0，2）T，α(→)2＋α(→)3＝（l，0，1，3）T，则AX(→)＝b(→)的通解是____。正确答案： k(0,1,-1,-1)T+(1,1,0,2)T/2解析：
由Aα1＝b，Aα2＝b，故A[（α1＋α2）/2]＝b，则（α1＋α2）/2是方程组AX＝b的特解。又r（A）＝3，故四元齐次方程组AX＝b的基础解系只含有一个解向量。由α1，α3是AX＝b的解向量，知α1－α3是齐次方程组AX＝0的解，而α1－α3＝（α1＋α2）－（α2＋α3）＝（0，1，－1，－1）T，故AX＝b的通解为k（0，1，－1，－1）T＋（1，1，0，2）T/2。 -
第9题：
单选题设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝（ ）。A1
B2
C3
D4
正确答案： B解析：
由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A*的列向量是齐次方程组Ax＝0的解，故r（A）＋r（A*）≤4，则r（A*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A*≠0，所以r（A*）＝1。 -
第10题：
单选题设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝（ ）。A0
B1
C2
D3
正确答案： B解析：
由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A*的列向量是齐次方程组Ax＝0的解，故r（A）＋r（A*）≤4，则r（A*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A*≠0，所以r（A*）＝1。 -
第11题：
单选题A为4阶方阵，r（A）＝3，则A*X(→)＝0(→)的基础解系所含解向量的个数为（ ）。A0
B1
C2
D3
正确答案： D解析：
由r（A）＝3，知r（A*）＝4－3＝1。又方程组A*X＝0是四元方程组，故其基础解系含4－1＝3个解向量。 -
第12题：
单选题设3阶方阵A满足A2=0，则下列等式成立的是（）．AA=O
BB.R=0
CA3=O
DD.R=3
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第13题：
设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.答案：解析：
-
第14题：
设A,B,C均是3阶方阵，满足AB=C，其中
A. a=—1时，r（A）= 1
B. a=—1时，r（A）= 2
C. a≠—1时，r（A）= 1
D. a≠—1时，r（A）= 2答案：C解析：
-
第15题：
设A,B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
A.r(A)+r(B)≤n B.A =0 或
B =0
C. 0≤r(
D)答案：D解析：提示 根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB=0，取矩阵的行列式， A B =0， A =0或 B =0，选项B正确。又因为B≠0，B为非零矩阵， r(B)≥1，由上式r(A) + r(B)≤n，推出0≤r(A) -
第16题：
设3阶方阵A满足A2=0，则下列等式成立的是（）．
- A、A=O
- B、B.R=0
- C、A3=O
- D、D.R=3
正确答案:C -
第17题：
设，，则秩r（AB-A）等于（）。
- A、1
- B、2
- C、3
- D、与α的取值有关
正确答案:B -
第18题：
单选题设A为3阶方阵，α(→)1，α(→)2，α(→)3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax(→)＝0(→)的解，若B＝（α(→)1，α(→)2，α(→)3）满足r（AB）＜r（A），r（AB）＜r（B），则r（AB）等于（ ）。A3
B2
C1
D0
正确答案： B解析：
由于α1，α2，α3不是Ax＝0的解，故AB≠0，所以r（AB）＞0。
又因r（AB）＜r（A），故B不可逆，即r（B）≤2，从而r（AB）＜r（B）≤2，即r（AB）＝1。 -
第19题：
填空题设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）____。正确答案： ≤4解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX＝0的解，令r（A）＝r1，r（B）≤4－r1，故r（A）＋r（B）≤4。 -
第20题：
单选题设3阶方阵A的秩R（A）=1，则A的伴随矩阵的秩R（）等于（）．A3
B2
C1
D0
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第21题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。A0
B1
Cn－1
Dn
正确答案： C解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。 -
第22题：
单选题设A为4阶方阵，且r（A）＝2，A*为A的伴随矩阵，则A*X(→)＝0(→)的基础解系所含的解向量的个数为（ ）。A1
B2
C3
D4
正确答案： C解析：
由r（A）＝2＜4－1＝3，故r（A*）＝0，即A*＝0，则方程组A*X＝0的基础解系含4－0＝4个解向量。 -
第23题：
单选题设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）（ ）。A≤1
B≤2
C≤3
D≤4
正确答案： A解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX＝0的解，令r（A）＝r1，r（B）≤4－r1，故r（A）＋r（B）≤4。 -
第24题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。A1
B2
Cn－1
Dn
正确答案： C解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。