问答题求x3y‴＋x2y″－4xy′＝3x2的通解。
题目
问答题
求x3y‴＋x2y″－4xy′＝3x2的通解。
相似考题
参考答案和解析
正确答案：
该微分方程为欧拉方程,令x=et,则xy′=dy/dt,x2y″=d2y/dt2-dy/dt,x3y‴=d3y/dt3-3d2y/dt2+2dy/dt。代入原微分方程,得d3y/dt3-2d2y/dt2-3dy/dt=3e2t,该微分方程对应的齐次方程的特征方程为λ3-2λ2-3λ=0,解得特征根为λ=0,-1,3。故对应齐次方程的通解为y0(t)=C1+C2e-t+C3e3t。
设非齐次微分方程的特解为Ae2t,将它代入微分方程,得到8Ae2t-8Ae2t-6Ae2t=3e2t,解得A=-1/2。
故微分方程的通解为y(t)=C1+C2e-t+C3e3t-e2t/2,故原方程的通解为y(x)=C1+C2/x+C3x3-x2/2。
该微分方程为欧拉方程,令x=et,则xy′=dy/dt,x2y″=d2y/dt2-dy/dt,x3y‴=d3y/dt3-3d2y/dt2+2dy/dt。代入原微分方程,得d3y/dt3-2d2y/dt2-3dy/dt=3e2t,该微分方程对应的齐次方程的特征方程为λ3-2λ2-3λ=0,解得特征根为λ=0,-1,3。故对应齐次方程的通解为y0(t)=C1+C2e-t+C3e3t。
设非齐次微分方程的特解为Ae2t,将它代入微分方程,得到8Ae2t-8Ae2t-6Ae2t=3e2t,解得A=-1/2。
故微分方程的通解为y(t)=C1+C2e-t+C3e3t-e2t/2,故原方程的通解为y(x)=C1+C2/x+C3x3-x2/2。
解析：
暂无解析