问答题设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。

题目

问答题

设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。

相似考题

1.设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)+f(ξ)=0．

2.设函数 f (x)在（-∞，+∞）上是偶函数，且在（0，+∞）内有 f ' (x) >0， f '' (x) >0，则在（- ∞ ，0）内必有：（A） f ' > 0, f '' > 0 （B） f ' 0 （C） f ' > 0, f ''

3.设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，

4.设函数f（x）在点x=a处可导，则函数｜f（x）｜在点x=a处不可导的充分条件是（）A.f（a）=0且f′（a）=0 B.f（a）=0且f′（a）≠0 C.f（a）＞0且f′（a）＞ D.f（a）＜0且f′（a）＜

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第1题：

设f(x)二阶可导，f(0)= f(1),且f(x)在[0,1]上的最小值为—1.证明：

答案：
解析：
第2题：

设f(x)在[a,b]上可导，且f(a)f(b)小于0，

答案：
解析：
由f(a)f(b)小于0，知f(x)在[a，b]上至少有一个零点. 故f(x)在[a，b]上零点的个数为1.
第3题：

设函数f(x)在(-∞，+∞)上是偶函数，且在(0，+∞)内有f'(x)＞0， f''(x)＞0，则在(-∞，0)内必有：

A. f'(x)＞0， f''(x)＞0
B.f'(x)＜0， f''(x)＞0
C. f'(x)＞0， f''(x)＜0
D. f'(x)＜0， f''(x)＜0

答案：B
解析：
提示已知f(x)在(-∞，+∞)上是偶函数，函数图像关于y轴对称，已知函数在(0，+∞)，f'(x)＞0， f''(x)＞0，表明在(0，+∞)上函数图像为单增且凹向，由对称性可知，f(x)在(-∞，0)单减且凹向，所以f'(x)＜0， f''(x)＞0。
第4题：

设函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数，且在(0,+∞)内有f'(x)>0,f''(x)>0,则在(-∞,0)内必有（）。
A. f'(x)>0,f''(x)>0 B. f(x) 0
C. f'(x)>0,f''(x)

答案：B
解析：
提示：f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数，f'(x)在(-∞,+∞)在上是奇函数，f''(x)在(-∞,+∞)在上是偶函数，故应选B。
第5题：

设f（0）=0，则f（x）在x=0可导的充要条件为（）.《》（）

答案：B
解析：
第6题：

设函数在（a，b）内连续，则在（a，b）内（）。
- A、f（x）必有界
- B、f（x）必可导
- C、f（x）必存在原函数
- D、D.必存在一点ξ∈（a，，使f（ξ）=0
正确答案:C
第7题：

下列结论不正确的是（）。
- A、y=f（x）在点x₀处可微，则f（x）在点x₀处连续
- B、y=f（x）在点x₀处可微，则f（x）在点x₀处可导
- C、y=f（x）在点x₀处连续，则f（x）在点x₀处可微
- D、y=f（x）在点x₀处可导，则f（x）在点x₀处连续
正确答案:C
第8题：

问答题
设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。

正确答案：
构造函数F(x)=e^-^xf(x)。
不妨设f(a)>0,则f(b)>0,f[(a+b)/2]<0。故F(a)=e^-^af(a)>0,F[(b+a)/2]=e^-(^b⁺^a⁾^/2f[(b+a)/2]<0,F(b)=e^-^bf(b)>0。
又F(x)在[a,(b+a)/2]和[(b+a)/2,b]上连续,则必∃c₁∈(a,(b+a)/2),c₂∈((b+a)/2,b),使F(c₁)=F(c₂)=0。
F(x)在[c₁,c₂]上满足罗尔定理的条件,故∃ξ∈(c₁,c₂)⊂(a,b),使F′(ξ)=e^-^ξ[f′(ξ)-f(ξ)]=0,即f′(ξ)=f(ξ),(e^-^ξ>0)。
解析：暂无解析
第9题：

问答题
设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）＝x。

正确答案：
首先证明存在性。
作辅助函数F(x)=f(x)-x,由题设00。
根据连续函数介值定理,在(0,1)上至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0。即f(ξ)-ξ=0。
用反证法证明唯一性。
设012<1,且f(x₁)=x₁,f(x₂)=x₂,即F(x₁)=F(x₂)=0。
根据罗尔定理知,存在x₀∈(x₁,x₂)⊂(0,1)使得F′(x₀)=0,即f′(x₀)=1,这与题目中f′(x)≠1相矛盾,故在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x。
解析：暂无解析
第10题：

单选题
函数f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，且f（0）＜0，f′（x）≥k＞0，则在（0，＋∞）内f（x）（　　）。
A
没有零点
B
至少有一个零点
C
只有一个零点
D
有无零点不能确定

正确答案： A
解析：
由f′（x）≥k＞0知f（x）单调增加，又f（0）＜0，且f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，故f（x）只有一个零点。
第11题：

问答题
设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）＝f（1）＝0，证明：必∃ξ∈（0，1）使ξ2f″（ξ）＋4ξf′（ξ）＋2f（ξ）＝0。

正确答案：
构造函数F(x)=x²f(x),由于f(x)在[0,1]上二阶可导,则F(x)也在[0,1]上二阶可导。
又F′(0)=[2xf(x)+x²f′(x)]_x₌₀=0,F″(x)=2f(x)+4xf′(x)+x²f″(x)。
故根据泰勒公式有F(1)=F(0)+F′(0)(1-0)+F″(ξ)(1-0)²/(2!)=0,其中ξ∈(0,1)。
所以F″(ξ)/2=[2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ²f″(ξ)]/2=0。
即2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ²f″(ξ)=0。
解析：暂无解析
第12题：

问答题
设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。

正确答案：
因f(x),f′(x)在[a,b]上连续,且c∈(a,b),则f(x)在[a,c]和[c,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,故∃a<η₁21),[f(b)-f(c)]/(b-c)=f′(η₂)。
由题设可知,f(c)>0,f(a)=f(b)=0,则f′(η₁)>0,f′(η₂)<0。
又f″(x)在(a,b)内存在,则f′(x)在[η₁,η₂]上满足拉格朗日中值定理的条件,故f′(η₂)-f′(η₁)=f″(ξ)(η₂-η₁)<0,其中ξ∈(a,b),从而f″(ξ)<0。
解析：暂无解析
第13题：

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且=A，则存在，且.

答案：
解析：
第14题：

设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，在(0，+∞)内有f'(x)＜0， f''(x)＞0，则在(-∞，0)内必有：

A. f'＞0， f''＞0
B.f'＜0， f''＜0
C. f'＜0， f''＞0
D. f'＞0， f''＜0

答案：B
解析：
提示：已知f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，图形关于原点对称，由已知条件f(x)在(0，+∞)，f'＜0单减， f''＞0凹向，即f(x)在(0，+∞)画出的图形为凹减，从而可推出关于原点对称的函数在(-∞，0)应为凸减，因而f'＜0， f''＜0。
第15题：

若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），则在（a，b）内满足f ′（x0）＝0的点x0（　　）。

A．必存在且只有一个
B．至少存在一个
C．不一定存在
D．不存在

答案：B
解析：
由罗尔中值定理可知：函数满足闭区间连续，开区间可导，端点函数值相等，则开区间内至少存在一个驻点ξ使得f ′（ξ）＝0。
第16题：

A.F（x）在x=0点不连续
B.F（x）在（-∞，+∞）内连续，在x=0点不可导
C.F（x）在（-∞，+∞）内可导，且满足F′（x）=f（x）
D.F（x）在（-∞，+∞）内可导，但不一定满足F′（x）=f（x）

答案：B
解析：
第17题：

下列结论不正确的是（）。
- A、z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微，则f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续
- B、z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微，则f（x，y）在点（x₀，y₀）处可导
- C、z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可导，则f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微
- D、z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处偏导数连续，则f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续
正确答案:C
第18题：

设函数f（x）在（-∞，+∞）上是偶函数，且在（0，+∞）内有f＇（x）>0，f＂（x）>0，则在（-∞，0）内必有（）。
- A、f＇（x）>0，f＂（x）>0
- B、f＇（x）<0，f＂（x）>0
- C、f＇（x）>O，f＂（x）<0
- D、f＇（x）<0，f＂（x）<0
正确答案:B
第19题：

问答题
设f（x）在[a，＋∞）上连续，在（a，＋∞）内可导，且f′（x）＞k＞0（k为常数），又f（a）＜0，证明方程f（x）＝0在（a，a－f（a）/k）内有唯一实根。

正确答案：
由题设条件f(a)<0,k>0可得a-f(a)/k>a。
令b=a-f(a)/k,根据拉格朗日中值定理得
f(b)=f(a)+f′(ξ)(b-a)=f(a)+f′(ξ)[-f(a)/k]=-f(a)[f′(ξ)/k-1]>0,(a<ξk)
由零点定理得f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。又f′(x)>0,即f(x)单调增加。故f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根。
解析：暂无解析
第20题：

问答题
设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）。证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0。

正确答案：
因为f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b),故必存在一点c∈(a,b),满足f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)=f(b),f(x)在[a,c]上满足拉格朗日中值定理,故至少存在一点ξ∈(a,c)⊂(a,b),使得f′(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0。
若f(c)0。综上命题得证。
解析：暂无解析
第21题：

问答题
设在[0，＋∞]上函数f（x）有连续导数，且f′（x）≥k＞0，f（0）＜0，证明：在（0，＋∞]内有且仅有一个零点。

正确答案：
∀x∈(0,+∞),由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(0,x)使得f(x)-f(0)=f′(ξ)x≥kx。取x₁>-f(0)/k>0,则有f(x₁)>k[-f(0)/k]+f(0)=0。
根据题意有f(0)<0,故有零点定理得,至少存在一点x₀∈(0,x₁),使得f(x₀)=0。
又因为f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增。因此f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点。
解析：暂无解析
第22题：

问答题
设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）·f（b）＞0，f（a）·f[（a＋b）/2]＜0。试证：对任意实数k，∃ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝kf（ξ）。

正确答案：
令F(x)=e^-^kxf(x)(a≤x≤b),则F(a)F(b)>0,F(a)F[(a+b)/2]<0,由介值定理得∃ξ₁ξ₂:a<ξ₁<(a+b)/2<ξ₂1)=F(ξ₂)=0。
由罗尔定理得∃ξ∈(ξ₁,ξ₂)⊂(a,b),使得F′(ξ)=0,即e^-^kξ[f′(ξ)-kf(ξ)]=0。故f′(ξ)=kf(ξ)。
解析：暂无解析
第23题：

问答题
设f（x）在[a，b]上连续（a＞0），在（a，b）内可导，证明：必∃ξ∈（a，b），使[f（a）－f（ξ）]/（ξ2－b2）＝f′（ξ）/（2ξ）。

正确答案：
构造函数φ(x)=(x²-b²)[f(a)-f(x)],则φ′(x)=2x[f(a)-f(x)]-(x²-b²)f′(x)在(a,b)上有意义。
而φ(a)=0=φ(b)。则由罗尔定理得,必∃ξ∈(a,b),使φ′(ξ)=2ξ[f(a)-f(ξ)]-(ξ²-b²)f′(ξ)=0。
即[f(a)-f(ξ)]/(ξ²-b²)=f′(ξ)/(2ξ)。
解析：暂无解析

问答题设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。

题目

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