问答题设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。
题目
问答题
设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。
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第1题：
设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，
答案：解析：
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第2题：
设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个
, 使
答案：解析：
-
第3题：
若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），则在（a，b）内满足f ′（x0）＝0的点x0（ ）。A．必存在且只有一个
B．至少存在一个
C．不一定存在
D．不存在答案：B解析：由罗尔中值定理可知：函数满足闭区间连续，开区间可导，端点函数值相等，则开区间内至少存在一个驻点ξ使得f ′（ξ）＝0。 -
第4题：
设函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数，且在(0,+∞)内有f'(x)>0,f''(x)>0,则在(-∞,0)内必有（ ）。
A. f'(x)>0,f''(x)>0 B. f(x) 0
C. f'(x)>0,f''(x)答案：B解析：提示：f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数，f'(x)在(-∞,+∞)在上是奇函数，f''(x)在(-∞,+∞)在上是偶函数，故应选B。 -
第5题：
A.F（x）在x=0点不连续
B.F（x）在（-∞，+∞）内连续，在x=0点不可导
C.F（x）在（-∞，+∞）内可导，且满足F′（x）=f（x）
D.F（x）在（-∞，+∞）内可导，但不一定满足F′（x）=f（x）答案：B解析：
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第6题：
下列结论不正确的是（）。
- A、y=f（x）在点x0处可微，则f（x）在点x0处连续
- B、y=f（x）在点x0处可微，则f（x）在点x0处可导
- C、y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处可微
- D、y=f（x）在点x0处可导，则f（x）在点x0处连续
正确答案:C -
第7题：
问答题设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。正确答案：
构造函数F(x)=e-xf(x)。
不妨设f(a)>0,则f(b)>0,f[(a+b)/2]<0。故F(a)=e-af(a)>0,F[(b+a)/2]=e-(b+a)/2f[(b+a)/2]<0,F(b)=e-bf(b)>0。
又F(x)在[a,(b+a)/2]和[(b+a)/2,b]上连续,则必∃c1∈(a,(b+a)/2),c2∈((b+a)/2,b),使F(c1)=F(c2)=0。
F(x)在[c1,c2]上满足罗尔定理的条件,故∃ξ∈(c1,c2)⊂(a,b),使F′(ξ)=e-ξ[f′(ξ)-f(ξ)]=0,即f′(ξ)=f(ξ),(e-ξ>0)。解析： 暂无解析 -
第8题：
问答题设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）。证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0。正确答案：
因为f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b),故必存在一点c∈(a,b),满足f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)=f(b),f(x)在[a,c]上满足拉格朗日中值定理,故至少存在一点ξ∈(a,c)⊂(a,b),使得f′(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0。
若f(c)解析： 暂无解析 -
第9题：
单选题函数f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，且f（0）＜0，f′（x）≥k＞0，则在（0，＋∞）内f（x）（ ）。A没有零点
B至少有一个零点
C只有一个零点
D有无零点不能确定
正确答案： A解析：
由f′（x）≥k＞0知f（x）单调增加，又f（0）＜0，且f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，故f（x）只有一个零点。 -
第10题：
问答题设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）·f（b）＞0，f（a）·f[（a＋b）/2]＜0。试证：对任意实数k，∃ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝kf（ξ）。正确答案：
令F(x)=e-kxf(x)(a≤x≤b),则F(a)F(b)>0,F(a)F[(a+b)/2]<0,由介值定理得∃ξ1ξ2:a<ξ1<(a+b)/2<ξ2
由罗尔定理得∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),使得F′(ξ)=0,即e-kξ[f′(ξ)-kf(ξ)]=0。故f′(ξ)=kf(ξ)。解析： 暂无解析 -
第11题：
问答题设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且存在相等的最大值。若f（a）＝g（a），f（b）＝g（b），证明： （1）存在η∈（a，b）使f（η）＝g（η）； （2）存在ξ∈（a，b）使f″（ξ）＝g″（ξ）。正确答案：
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x),由f(a)=g(a),f(b)=g(b)可知,h(a)=h(b)=0。可设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M,分别在α∈(a,b),β∈(a,b)处取得。
当α=β时,令η=α,则h(η)=0;
当α≠β时,h(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0,h(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M≤0。由介值定理可知,存在介于α和β之间的点η使得h(η)=0。综上所述,∃η∈(a,b),使得h(η)=0。
(2)根据罗尔定理可知,∃ξ1∈(a,η),∃ξ2∈(η,b),使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0。再由罗尔定理可知,∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),使得h″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)。解析： 暂无解析 -
第12题：
问答题设f（x）在[a，b]上连续（a＞0），在（a，b）内可导，证明：必∃ξ∈（a，b），使[f（a）－f（ξ）]/（ξ2－b2）＝f′（ξ）/（2ξ）。正确答案：
构造函数φ(x)=(x2-b2)[f(a)-f(x)],则φ′(x)=2x[f(a)-f(x)]-(x2-b2)f′(x)在(a,b)上有意义。
而φ(a)=0=φ(b)。则由罗尔定理得,必∃ξ∈(a,b),使φ′(ξ)=2ξ[f(a)-f(ξ)]-(ξ2-b2)f′(ξ)=0。
即[f(a)-f(ξ)]/(ξ2-b2)=f′(ξ)/(2ξ)。解析： 暂无解析 -
第13题：
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且
=A，则
存在，且.
答案：解析：
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第14题：
设f(x)在[a,b]上可导，且f(a)f(b)小于0，
答案：解析：由f(a)f(b)小于0，知f(x)在[a，b]上至少有一个零点.
故f(x)在[a，b]上零点的个数为1. -
第15题：
设f(x)是R上的可导函数，且f(x)>0。若f′(x)-3x---2f(x)=0，且f(0)=1，求f(x)。答案：解析：
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第16题：
设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)()．A.不存在零点
B.存在唯一零点
C.存在极大值点
D.存在极小值点答案：B解析：由于f(x)在[a，b]上连续f(z)·fb)<0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，y=f(x)在(a，b)内至少存在一个零点．又由于f(x)>0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个．综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B． -
第17题：
设函数在（a，b）内连续，则在（a，b）内（）。
- A、f（x）必有界
- B、f（x）必可导
- C、f（x）必存在原函数
- D、D.必存在一点ξ∈（a，，使f（ξ）=0
正确答案:C -
第18题：
问答题设f（x）在[a，＋∞）上连续，在（a，＋∞）内可导，且f′（x）＞k＞0（k为常数），又f（a）＜0，证明方程f（x）＝0在（a，a－f（a）/k）内有唯一实根。正确答案：
由题设条件f(a)<0,k>0可得a-f(a)/k>a。
令b=a-f(a)/k,根据拉格朗日中值定理得
f(b)=f(a)+f′(ξ)(b-a)=f(a)+f′(ξ)[-f(a)/k]=-f(a)[f′(ξ)/k-1]>0,(a<ξ
由零点定理得f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。又f′(x)>0,即f(x)单调增加。故f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根。解析： 暂无解析 -
第19题：
问答题设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。正确答案：
构造函数φ(x)=sin3x·f(x),则由于f(x)在[0,π]上连续,故φ(x)也在[0,π]上连续。
且φ′(x)=sin3x·f′(x)+3sin2xcosx·f(x)在(0,π)有意义。
又φ(0)=φ(π)=0,根据罗尔定理得,必∃ξ∈(0,π),使φ′(ξ)=sin3ξ·f′(ξ)+3sin2ξcosξ·f(ξ)=0,即sin3ξ[f′(ξ)+3f(ξ)cotξ]=0。
而(0,π)上sinξ≠0。故f′(ξ)+3f(ξ)cotξ=0。解析： 暂无解析 -
第20题：
问答题设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且对于（a，b）内一切x有f′（x）g（x）－f（x）g′（x）≠0。证明：如果f（x）在（a，b）内有两个零点，则介于两个零点之间，g（x）至少有一个零点。正确答案：
构造函数φ(x)=f(x)/g(x),并设x1、x2∈(a,b)是f(x)的两个零点,且x1
假设g(x)在(x1,x2)内没有零点,则函数φ(x)在[x1,x2]上可导,且φ(x1)=φ(x2)=0。
根据罗尔定理得,必∃ξ∈(x1,x2),使得
φ′(ξ)=[f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)]/g2(ξ)=0,即f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0与已知条件矛盾,故g(x)在(x1,x2)内至少有一个零点。解析： 暂无解析 -
第21题：
问答题设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）＝1/2。证明：必∃ξ、η∈（a，b），使e2ξ＝（eb＋ea）[f′（η）＋f（η）]eη。正确答案：
构造函数φ(x)=exf(x),则由f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可微,可知,φ(x)在[a,b]上连续,且φ′(x)=ex[f′(x)+f(x)]在(a,b)上有意义。
由拉格朗日中值定理得,必∃η∈(a,b)使ebf(b)-eaf(a)=eη[f′(η)+f(η)](b-a)。
又f(a)=f(b)=1/2,则上式为(eb-ea)/(b-a)=2eη[f′(η)+f(η)]①
令g(x)=e2x,则g(x)在[a,b]上连续,且g′(x)=2e2x在(a,b)上有意义。
由拉格朗日中值定理知,必∃ξ∈(a,b),使(e2b-e2a)/(b-a)=2e2ξ,即(eb-ea)/(b-a)=2e2ξ/(eb+ea)②
由①②得2e2ξ/(eb+ea)=2eη[f′(η)+f(η)],即e2ξ=(eb+ea)eη[f′(η)+f(η)]。解析： 暂无解析 -
第22题：
问答题设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）＝f（1）＝0，证明：必∃ξ∈（0，1）使ξ2f″（ξ）＋4ξf′（ξ）＋2f（ξ）＝0。正确答案：
构造函数F(x)=x2f(x),由于f(x)在[0,1]上二阶可导,则F(x)也在[0,1]上二阶可导。
又F′(0)=[2xf(x)+x2f′(x)]x=0=0,F″(x)=2f(x)+4xf′(x)+x2f″(x)。
故根据泰勒公式有F(1)=F(0)+F′(0)(1-0)+F″(ξ)(1-0)2/(2!)=0,其中ξ∈(0,1)。
所以F″(ξ)/2=[2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ2f″(ξ)]/2=0。
即2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ2f″(ξ)=0。解析： 暂无解析 -
第23题：
问答题设f（x）在闭区间[0，c]上连续，其导数f′（x）在开区间（0，c）内存在且单调减少，f（0）＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a＋b）≤f（a）＋f（b），其中a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c。正确答案：
f(a+b)-f(a)-f(b)=[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]。
因为f(x)在区间(0,a),(b,a+b)上满足拉格朗日中值定理,因此分别存在ξ∈(0,a),η∈(b,a+b),使得f(a)-f(0)=af′(ξ),f(a+b)-f(b)=af′(η),从而有f(a+b)-f(a)-f(b)=a[f′(η)-f′(ξ)]。
又f′(x)在(0,c)上单调减少,故f′(η)≤f′(ξ),故f(a+b)-f(a)-f(b)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b)。解析： 暂无解析 -
第24题：
问答题设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。正确答案：
因f(x),f′(x)在[a,b]上连续,且c∈(a,b),则f(x)在[a,c]和[c,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,故∃a<η1
由题设可知,f(c)>0,f(a)=f(b)=0,则f′(η1)>0,f′(η2)<0。
又f″(x)在(a,b)内存在,则f′(x)在[η1,η2]上满足拉格朗日中值定理的条件,故f′(η2)-f′(η1)=f″(ξ)(η2-η1)<0,其中ξ∈(a,b),从而f″(ξ)<0。解析： 暂无解析