问答题已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。
题目
问答题
已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。
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第1题：
设A为n阶方阵，则以下结论正确的是（ ）。
答案：A解析：
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第2题：
设A，B是n（n≥2）阶方阵，则必有（ ）.
答案：C解析： -
第3题：
设A是一个n阶方阵，已知 A =2，则 -2A 等于：
A. (-2)n+1 B. (-1)n2n+1
C. -2n+1 D. -22答案：B解析：
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第4题：
设A、B都是n阶方阵，满足AB=A-B，请证明：AB=BA答案：解析：
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第5题：
设n阶方阵是一个上三角矩阵，则需存储的元素个数为()。A.n
B.n×n
C.n×n/2
D.n(n+1)/2答案：D解析：在上三角矩阵中，第一行有1个元素，第二行有2个元素，…，第n行有n个元素，则共n(n+1)/2个。 -
第6题：
设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则||A|A*|等于（ ）.
答案：D解析：
-
第7题：
问答题已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。正确答案：
(1)必要性
设AX=B有解,令X1,X2,…,Xn是X的列向量,B1,B2,…,Bn是B的列向量。由AX=B有解知方程组AXk=Bk(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆Bk)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
(2)充分性
若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AXk=Bk有解。记其解为Ci(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。解析： 暂无解析 -
第8题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。A（A＋E）/2
B－（A＋E）/2
C（A－E）/2
D－（A－E）/2
正确答案： C解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第9题：
单选题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（ ）。A0
B1
C2
D3
正确答案： A解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…，εn。
当m＝n时，由对任意B都有AB＝0，则对B＝（ε1，ε2，…，εn）＝En也成立，即AE＝0，故A＝0。
当m＞n时，取B＝（ε1，ε2，…，εn，B1）＝（En，B1），则由AB＝A（En，B1）＝0，知AEn＝0，故A＝0。 -
第10题：
单选题设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则||A|A*|等于（ ）。A｜A｜2
B｜A｜n
C｜A｜2n
D｜A｜2n－1
正确答案： D解析：
||A|A*|＝|A|n·|A*|＝|A|n·|A|n－1＝|A|2n－1。 -
第11题：
单选题设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|（ ）。A＝0
B≠0
C＝1
D≠1
正确答案： B解析：
依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。 -
第12题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量X=（x1，x2，…，xn）T都有AX=0.证明：A=0.正确答案：
证明:由对任意n维向量X都有AX=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立.
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0.解析： 暂无解析 -
第13题：
设 A 、 B 为n阶方阵，AB＝0 ，则
答案：C解析：
-
第14题：
设A是一个n阶方阵，已知|A|=2，则|-2A|等于( ).A.
B.
C.
D.
答案：B解析：
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第15题：
设A与B都是n阶方阵,且
,证明AB与BA相似.答案：解析：
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第16题：
设
为n阶方阵A的两个互不相等的特征值,与之对应的特征向量分别为X1,X2,证明X1,X2不是矩阵A的特征向量。答案：解析：
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第17题：
设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）.《》（ ）
答案：C解析：
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第18题：
n阶方阵A为正定的充分必要条件是()。
答案：C解析： -
第19题：
问答题设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。正确答案：
因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A)m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。解析： 暂无解析 -
第20题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第21题：
填空题设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|____。正确答案： ≠0解析：
依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。 -
第22题：
填空题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.正确答案： 0解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…εn
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε1，ε2，…εn）=En也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε1，ε2，…εn，B1）=（En，B1），则由AB=A（En，B1）=0，知AEn=0，故A=0． -
第23题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量x(→)＝（x1，x2，…，xn）T都有Ax(→)＝0。证明：A＝0。正确答案：
由对任意n维向量x都有Ax=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立。
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0。解析： 暂无解析 -
第24题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。AA＋2E
BA＋E
C（A＋E）/2
D－（A＋E）/2
正确答案： A解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。